Datation absolue en géologie par le couple rubidium/strontium

La datation au carbone 14 ne s'applique qu'aux échantillons de matières organiques. Elle est donc inefficace pour dater les roches. Les minéraux présents dans une roche de la croûte terrestre contiennent les éléments chimiques suivants :

• le rubidium 87 ( \(^{87}\text{Rb}\) ), un élément radioactif qui donne naissance au strontium 87 ( \(^{87}\text{Sr}\) ), un élément stable (c’est-à-dire qu’il ne se désintègre pas et reste prisonnier de la roche) ;
  
• le strontium 86 ( \(^{86}\text{Sr}\) ), un élément stable dont la quantité ne varie pas au cours du temps. 
  

Afin de dater une roche, on utilise un spectromètre de masse sur plusieurs échantillons. Cet instrument permet de déterminer les rapports isotopiques :

  \(\Delta Y=\dfrac{ ^{87}\text{Rb}}{^{86}\text{Sr}}\) et \(\Delta X=\dfrac{ ^{87}\text{Sr}}{^{86}\text{Sr}}\) .

Si \(t\) désigne l'âge en année de la roche étudiée, on a alors :

\(2{,}718\,28^{1,42·10^{-11} t}=\dfrac{\Delta Y}{\Delta X}+1\quad\quad\text{(E)}\)

Une étude sur le granite de Guéret permet de conclure que : \(\dfrac{\Delta Y}{\Delta X}=0{,}005\,1\) .

1. Quelle équation faut-il résoudre pour déterminer l'âge de ce granite ?

2.  Tracer la courbe représentative de la fonction \(f\) définie par \(f(t)=2{,}718\,28^{1{,}42 ·10^{-11} t}\) .

Que constate-t-on ?

3. Afin d'estimer la solution de l'équation (E), les scientifiques utilisent l'approximation suivante : \(1{,}42 \cdot10^{-11} t\simeq\dfrac{\Delta Y}{\Delta X}\) .

4. En déduire une valeur approchée de l'âge de ce granite.

5. D'autres méthodes de résolution plus précises ont permis d'affirmer que l'âge du granite de Guéret est de 358 millions d'années. Calculer l'erreur relative en pourcentage en utilisant l'approximation de la question précédente.